лента Мёбиуса – это топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство.

При этом в Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (хотя топологически они неразличимы).

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом (1790–1868) и Иоганном Бенедиктом Листингом (1808–1882) и рассмотрена ими в 1858–1865 годах.

Иоганн Бенедикт Листинг
ИОГАНН БЕНЕДИКТ ЛИСТИНГ (1808-1882)
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества трёхмерного пространства является параметризация:







где 0 ≤ u < 2π и –1 ≤ ʋ < 1.

Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x–y с центром в точке (0, 0, 0). Параметр u движется вдоль ленты, в то время как параметр ʋ задаёт расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r, θ, z), неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

mebus 4

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Поскольку лента Мёбиуса ограничена всего лишь одной замкнутой линией, то при разрезании этой удивительной ленты по средней линии она не распадётся на две части, а вместо ожидаемых двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганской лентой».

Если же после этого полученную «дважды закрученную» ленту разрезать вдоль посередине, то образуются две ленты, намотанные друг на друга.

Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна – более короткая лента Мёбиуса, а другая – длинная лента с двумя полуоборотами («афганская лента»).

Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них.

Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Существует заблуждение, что лента Мёбиуса стала основой символа бесконечности ∞. Однако это не так: символ ∞ стал использоваться для обозначения бесконечности ещё за два столетия до открытия ленты Мёбиуса.


Стилизованный лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг физико-математической тематики «Библиотечка „Квант“», а также основного элемента международных кодов переработки – специальных знаков, применяемых для обозначения материала, из которого изготовлен товар, а также упрощения процесса сортировки перед его отправкой на переработку для вторичного использования.

Взгляните на нижнюю либо тыльную часть практически любого пластмассового изделия, и вы в этом легко убедитесь.

Ещё одной односторонней поверхностью является бутылка Клейна – неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном (1849–1925).

Её название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Бутылка Клейна

В отличие от обыкновенной бутылки, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась, т.е. у этого объекта нет «внутри» и «снаружи».